【教學】中國古書>九章算數

第一章 方田 　 　

例一：今有田廣十五步從十六步，問為田幾何？
答曰：一畝
廣從即為矩形的寬與長，廣從步數相乘得二百四十步，古時二百四十步為一畝。

例二：今有圓田，周三十步徑十步，問為田幾何？
答曰：七十五步。
古時圓周率用3計算，依圓面積公式πγ2得3(5)2=75，此處徑指圓之直徑。
第二章 粟米 　 　 　
主要是求各種不同穀類的換算。
例一：今有粟一斗欲為糲米。問得幾何？
答曰：為糲米六升。
古時粟米之法為粟米五十等於糲米三十，
故一斗粟米等於3/5斗的糲米，
也就是等於六升。
第三章 衰分 　 　 　
衰分指依不同比例的分法。
例一：今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，
凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？
答曰：大夫得一鹿，三分鹿之二。
            不更得一鹿，三分鹿之一。
            簪裹得一鹿。
            上造得三分鹿之二。
            公士得三分鹿之一。
古代分配面東西是依：大夫五、不更四、簪裹三、上造二、公士一
的比數來計算，所以大夫得總數的5/15故得25/15隻鹿，
也就是1隻鹿，其餘同理可推。
例二：今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？
答曰：大夫出八錢，一百三十七分錢之一百四
            不更出十一錢，一百三十七分錢之一百三十
            簪裹出十四錢，一百三十七分錢之八十二
            上造出二十一錢，一百三十七分錢之一百二十三
            公士出四十三錢，一百三十七分錢之一百九
依爵位，大夫、不更、簪裹、上造、公士所分攤之比例
分別為1/5、1/4、1/3、1/2、1而1/5+1/4+1/3+1/2+1=137/60
故公士所應分攤之錢數為
100÷137/60=6000/137=6000/137=43又109/137，
其於可依此數的1/5、1/4、1/3、1/2而得。
第四章 少廣 　 　 　
一畝之田為長240步，廣(寬)一步之長方形，若長減少、寬則增加，此謂少廣。
例一：今有田廣一步半，求田一畝，問從幾何？
答曰：一百六十步

例二：今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？
答曰：二百三十五步

例三：今有積三百步，問為圓周幾何？
答曰：六十步

此處圓周率取三。
　 　 　
第五章 商功 　 　 　
主要為探討實物固體體積的計算
例一：今有城下廣四丈、上廣二丈、高五丈、袤一百二十六丈五尺 ，問積為何？
答曰：一百八十九萬七千五百尺。

上例中所言的城牆其橫截面之上底為二丈、下底為四丈、高為五丈 的梯形，而城牆長為1265尺。故其體積為梯形之面積乘以城長，也就是（立方尺）。
　 　 　
第六章 均輸 　 　 　
例一：今有均輸粟：甲縣一萬戶，行道八曰；
                                    乙縣九千五百戶，行道十曰；
                                    丙 縣一萬二千三百五十戶，行道十三曰；
                                    丁縣一萬二千二百戶，行道二十曰，各到輸所。
凡四縣賦，當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近，戶數多少，衰出之。問粟、車各幾何？
答曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。
            乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。
            丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。
            丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。
若以各縣戶數與行程曰數來作為分配標準則甲乙丙丁四縣所分擔的比例為125：95：95：61(即10000/8：9500/10：12350/13：12200/20)則各縣所應分攤的粟及車的持分各為總數的125/376，95/376，95/376，61/376。
　 　 　
第七章 盈不足  　 　 　
例一：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數物價各幾何？
答曰：七人，物價五十三。
此即為代數中線性方程式的問題，設人數為χ則8χ-3=7χ+4，
得χ為7，總共價錢為 8(7)-3=53
　 　 　
第八章 方程 　 　 　
例一：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；
            上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；
            上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。
問上、中、下禾實一秉各幾何？
答曰：上禾一秉、九斗，四分斗之 一。
            中禾一秉、四斗，四分斗之 一。
            下禾一秉、二斗，四分斗之 三。
此即為線性代數中聯立一次方程組的問題，設上禾每秉(束)容量為 x 斗，中禾每秉(束)容量為 y 斗，下禾每秉(束)容量為 z 斗，得到聯立方程組如下：

利用解方程組常用的代入消去法可得，
而原書上所提示的解法則是利用矩陣的高斯消去法 ( Gaussian elimination )。
　 　 　
第九章 勾股 　 　 　
例一：今有勾三尺，股四尺，問為弦幾何？
答曰：五尺。
勾股術曰：勾股各自乘、并，而開方除之，即弦。

例二：今有池方一丈葭生其中央，出水一尺。
            引葭赴岸，通與岸齊。問水深，

葭長各幾何？

答曰：水深一丈二尺；葭長一丈三尺。

術曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，餘，倍出水除之，即得水深。
            加出水數，得葭長。

[ 本帖最後由 大盤帽 於 2006-1-24 23:59 編輯 ]